Автор: преподаватель математики М. В. Болонкин

Математика доступна каждому

Многие считают математику одним из самых сложных предметов, если не самым сложным. Огромное количество формул и теорем, невообразимое количество самых разнообразных задач и примеров – всё это приводит учащихся в ужас. Но что делает математику сложнее других предметов? Сложные и непонятные формулы? Или длинные теоремы и еще более длинные доказательства? А может быть, необходимость решать задачи, которые, как иногда кажется, и академикам не по зубам?

Во всём этом, конечно, есть доля истины. Но что можно с этим сделать, как облегчить себе жизнь на уроках математики, да и вообще подружиться с этим сложным предметом?

Для начала – попытаться поверить в то, что математика вовсе не сложный предмет. Да, он требует самодисциплины, регулярных занятий, желания разобраться в нём, но сама по себе математика доступна каждому.

 

Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны без аналогии.

                                                                                                          Дьёрдь Пойа.

Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями, лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств, более сильный математик — тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии.

                                                                                                        Стефан Банах.

 

   Один из способов лучше понять непонятную тему – это подобрать понятную для себя аналогию, попытаться связать её с тем, что вы уже знаете. Это облегчит и понимание темы, и запоминание формул и методов решения задач.

Например, деление многочленов друг на друга в столбик. Если внимательно присмотреться, то оно ничем не отличается от деления обычных целых чисел друг на друга – точно так же подбираем подходящий множитель, умножаем, вычитаем, спускаем очередные слагаемые. А если нужно найти наибольший общий делитель двух многочленов? Да, когда мы ищем НОД двух чисел, мы раскладываем их на множители, а раскладывать многочлены на множители тяжело. Но если деление, умножение и сложение многочленов так похоже на деление, сложение и умножение обычных чисел, то должен существовать способ находить НОД похожим образом. И правда, есть ведь алгоритм Евклида, для которого нужно находить остатки от деления одного числа на другое. Умеем мы находить остатки от деления одного многочлена на другой? Да, умеем. Значит, можем смело использовать алгоритм Евклида для нахождения НОД двух многочленов.

 

   Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда? Давайте-ка подумаем. Параллелепипед – он ведь как прямоугольник, только объемный. Как мы находили диагональ прямоугольника? По теореме Пифагора: . Но у прямоугольника всего две разные стороны, а у параллелепипеда три, вот и готов ответ: .

В тригонометрии не забываем о том, что косинус – это абсцисса, синус – ордината точки на единичной окружности, а тангенс – точка на касательной прямой, а значит легко можно определить знаки функций от любых углов. Логарифм является обратной функцией к показательной функции, поэтому все свойства логарифма повторяют свойства показательной функции с точностью до наоборот. И так во всем курсе математики.

   

   В процессе решения задач иногда приходится использовать формулы, в которых мы не очень уверены и не можем при этом доказать или опровергнуть их. Самый простой способ убедиться в верности той или иной формулы – это проверить ее на небольших значениях. Например, очень частая ошибка, которую допускают учащиеся в контрольных,  это попытка извлечь квадратный корень из суммы чисел. Студенты пишут: . Для проверки можно выбрать два небольших числа, например и проверить: . Раз формула не подходит для конкретного набора чисел, значит, ее нельзя считать верной и тем более использовать в решении.

   Другой очень полезный прием – использовать какие-нибудь мнемотехники. Мнемотехника (мнемоника) – это совокупность специальных приёмов и способов, облегчающих запоминание нужной информации и увеличивающих объём памяти путём образования ассоциаций (связей). Это могут быть картинки, стихи, предложения. Все помнят такие мнемоники как «Каждый Охотник Желает Знать Где Сидит Фазан» или «Биссектриса – это крыса, которая бегает по углами и делит угол пополам». Можно придумывать и свои, более понятные техники запоминания.

   Существует очень много готовых мнемотехнических приемов для запоминания констант. Самая популярная, конечно, - это число π. Например, стихотворение:

Чтобы нам не ошибиться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

 Девяносто два и шесть.

Или предложения, в которых число π кодируется количеством букв в словах:

 -Что я знаю о кругах? (≈3,1416)

- Вот и знаю я число, именуемое Пи - Молодец! (3,1415927)

- Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать! (3,14159265359)

   Учитывая огромную популярность этого числа в математике, существует великое множество подобных мнемоник на самых разных языках (да, в иностранных школах тоже проходят математику). Несколько примеров на английском языке:

May I have a large container of coffee, cream and sugar? (3,1415926535)

How I wish I could enumerate pi easily, since all these bullshit mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply. (3,14159265358979323846)

Или даже целое стихотворение:

I wish I could determine pi

Eureka, cried the great inventor

Christmas pudding, Christmas pie

Is the problem's very center.

   Майкл Кит даже издал целую книгу Not A Wake:  A Dream Embodying π's Digits Fully For  10000 Decimals, в которой 10000 слов, и все соответствуют цифрам числа π.

 

   Еще одна известная константа – это число e – основание натурального логарифма, равная 2,718281828459045. Начало, а именно первые две цифры 2,7 запомнить несложно. Далее идут подряд два раза по четыре цифры 1828, которые являются годом рождения Льва Николаевича Толстого. А числа 45, 90 и 45 являются углами равнобедренного прямоугольного треугольника. Поэтому мнемоническое правило звучит как «два и семь, а затем два Льва Толстых и равнобедренный прямоугольный треугольник» (по правде говоря, автор год рождения Льва Толстого запомнил именно благодаря числу e).

    В США существует другая мнемоника для этого числа, основанная на фактах из биографии президента США  Эндрю Джексона: «2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался, затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник».

 

 

Теорема Виета легко запоминается с помощью стихотворения:

Познакомили поэта

С теоремою Виета,

Оба корня он сложил —

Минус p он получил,

А корней произведение

Даёт q из уравнения.

 

   В математическом анализе часто приходится исследовать функцию с помощью производных.  Теоремы говорят нам о том, что если первая производная положительна, то функция возрастает, если производная отрицательна, то функция убывает. Этот факт легко запоминается, так как рост, развитие всегда ассоциируется с плюсом, вызывает положительные эмоции. А убывание, деградация и упадок обычно связаны с негативным отношением, с минусом.

 

 

 

   В том же разделе теорема утверждает, что если вторая производная функции положительна, то функция будет выпуклой, а если производная отрицательна, то функция будет вогнутой. В этом случае учащиеся часто путают, какой знак к чему относится и как выглядят графики вогнутых и выпуклых функций. Для более легкого запоминания можно использовать следующую аналогию:

 

 Выпуклая функция                         Вогнутая функция

 

Улыбка смайлика будет вам подсказывать, как выглядит график функции.

 

   В текстовых задачах, которые так любят давать на вступительных экзаменах и так не любят решать учащиеся (в США, кстати, эти задачи считаются одними из самых сложных) ключевой момент, которые не нужно забывать – что главная цель в решении таких задач – это составить уравнение или систему уравнений и решить его. Но для того, чтобы составить уравнение, нужно сначала внимательно прочитать задачу, представить себе все, что в ней описывается. Если задача про то, как трое рабочих выполняют работу – представьте себе, как они работают, в каком порядке выполняют работу, как быстро они это делают. Если задача про движение – представьте себе, как едет машина на встречу автобусу, а вы стоите на обочине (или может быть сидите в машине), или плывет лодка, догоняя плот по реке. Затем аккуратно запишите все соотношения, которые следуют из условий задачи. Найдите то из них, которое является главным, которое можно сделать основным уравнением задачи, и решите его.

 

   Решение любой задачи – это как путешествие по лабиринту или по незнакомому городу. Вам дается условие – набор указаний и ориентиров, вы знаете пункт назначения – что нужно найти в задаче, и от вас требуется дойти от условий задачи к ответу. Если вы много раз решали такую задачу, то вам не составит труда быстро дойти до пункта назначения (так же как и в знакомом районе). Но если задача незнакома, то нужно пытаться найти путь, который приведет вас туда, куда вам нужно. Так же как в лабиринте можно пытаться ходить по разным коридорам, возвращаться и пробовать проходить по другим, в задачах можно перебирать различные варианты решения, выписывать всё, что можно найти из условия задачи, затем всё, что можно найти из того, что вы уже нашли и так далее – рано или поздно вы переберёте все возможные варианты и придете к решению. Как и в случае лабиринта, худший выбор – стоять на месте и ничего не делать.

    Успехов вам!